Wycena opcji wg algorytmu drzewa dwumianowego

Problematyka instrumentów pochodnych stanowi przedmiot zarządzania finansami, który owiany jest specyficzną aurą tajemniczości. Panuje przekonanie, że do sprawnego zarządzania tymi instrumentami niezbędna jest unikatowa wiedza i wyspecjalizowane narzędzia analityczne. W rzeczywistości pierwszym krokiem na drodze do opanowania tej wiedzy jest samo zrozumienie istoty instrumentu i jego sensu biznesowego. Po tym już nawet z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego można wykonywać profesjonalne analizy – w tym przypadku wycenę instrumentu.

W artykule postaram się zaprezentować sposób wyceny opcji europejskiej z wykorzystaniem algorytmów opartych na modelu drzewa dwumianowego. Zanim przejdziemy do analizy, należy zrozumieć istotę instrumentu, jakim jest opcja. Opcja to instrument pochodny, który polega na pewnego rodzaju umowie pomiędzy stronami, zgodnie z którą w przyszłości dokonana zostanie transakcja na z góry określonych warunkach. W przypadku akcji polega to na możliwości kupna lub sprzedaży akcji po określonej cenie. W umowie tej występuje wystawca oraz kupujący opcję. Wystawca zawsze jest zobligowany do wykonania obowiązków wynikających z transakcji, natomiast kupujący ma możliwość wykorzystania przysługujących mu praw. Trudno bowiem wyobrazić sobie sytuację, kiedy kupujący opcję będzie zainteresowany kupnem akcji po cenie wyższej niż rynkowa. Kupując opcję zagwarantował sobie prawo do tego, że jeżeli cena rynkowa wzrośnie powyżej ceny ustalonej w kontrakcie opcyjnym – on będzie miał prawo dokonać transakcji po z góry ustalonej cenie. Co innego wystawca – ta strona otrzymuje wynagrodzenie za ryzyko odchylenia ceny rynkowej od ustalonej w kontrakcie. Jeżeli warunki rynkowe spowodują, że nabywca opcji nie będzie miał ekonomicznego powodu do skorzystania z przysługujących mu praw – wystawca opcji zarabia, w przeciwnym wypadku zarabia nabywca, a wystawca zmuszony jest dokonać transakcji na warunkach innych niż rynkowe.
Główne rodzaje opcji to opcje typu call - opcja kupna i opcje typu put - czyli opcje sprzedaży. Podział świadczy o właściwościach biznesowych, w pierwszym przypadku opcja daje prawo do kupna określonych walorów, w drugim prawo do sprzedaży. Dodatkowo opcje dzielone są ze względu na moment realizacji prawa – tj. opcje europejskie, realizowane po upływie okresu, na jaki opcja została zawarta, oraz opcje amerykańskie – realizowane w dowolnym momencie obowiązywania kontraktu.
Rozważając zakup opcji, należy ocenić prawdopodobieństwo tego, czy po danym okresie wartość waloru (akcji) będzie na takim poziomie, który uzasadnia zakup opcji. Do wyboru mamy dwa warianty – pierwszy, że cena akcji wzrośnie, drugi, że spadnie. Nie mamy wiedzy pozwalającej na pewne określenie tego, co się wydarzy, a więc każdemu z tych wariantów musimy przypisać pewne prawdopodobieństwo zaistnienia. Symulując dostatecznie dużą liczbę kroków, możemy oszacować spodziewane prawdopodobieństwo sukcesu lub porażki. Ta analiza to tzw. model drzewa dwumianowego:

 

Jeśli mamy do czynienia tylko z dwiema możliwościami realizowanymi w ramach jednego kroku, to możemy opracować model drzewa dwumianowego, które zawiera zdefiniowany sukces i porażkę (wzrost, spadek ceny) oraz prawdopodobieństwo zaistnienia każdego zdarzenia w kroku. Przy dostatecznie dużej liczbie gałęzi możemy doprowadzić do rozważenia tak dużej liczby wariantów, która pozwoli na wycenę wartości opcji. Kluczowe jest zdefiniowanie wartości sukcesu i porażki, tj. o ile wzrośnie lub spadnie cena, oraz oszacowanie prawdopodobieństw.
Sposób definicji tych parametrów determinuje określenie modelu. Poniżej przedstawię sposób budowy najprostszego modelu, opracowanego przez Jarrowa i Rudda (JR). Bazuje on na założeniu, że zarówno spadek, jak i wzrost jest możliwy z tym samym prawdopodobieństwem, tj. 50%. Wartości wzrostów i spadków opisane są przez mnożniki zdefiniowane w następujący sposób:

 

Analizując jednostkową ścieżkę dojścia do wyniku w 9 krokach możemy osiągnąć wynik będący iloczynem wartości początkowej dziewięciu spadków lub wzrostów oraz dziewięciu wskaźników prawdopodobieństw. Na przykład ścieżka prowadząca do maksymalnej wartości będzie równa cenie akcji w bieżącym momencie pomnożonej przez mnożnik wzrostu (w) podniesiony do 9. potęgi oraz prawdopodobieństwu wzrostu (w przypadku JR zawsze 0,5), również podniesionemu do 9. potęgi.

W analizie drzewa dwumianowego musimy rozpatrzeć wszystkie możliwe ścieżki dojścia do określonego wyniku, które można zdefiniować jako kombinację ilości wzrostów w liczbie kroków. W ten sposób powinniśmy rozpatrzeć:

1. zysk wynikający z 9 kolejnych wzrostów, jak w przykładzie powyżej,
2. zysk (stratę) wynikający z 8 wzrostów i jednego spadku,
3. zysk (stratę) wynikający z 7 wzrostów i 2 spadków,
4. zysk (stratę) wynikający z 6 wzrostów i 3 spadków,
5. zysk (stratę) wynikający z 5 wzrostów i 4 spadków,
6. zysk (stratę) wynikający z 4 wzrostów i 5 spadków,
7. zysk (stratę) wynikający z 3 wzrostów i 6 spadków,
8. zysk (stratę) wynikający z 2 wzrostów i 7 spadków,
9. zysk (stratę) wynikający z 1 wzrostu i 8 spadków,
10. zysk (stratę) wynikającą z 9 kolejnych spadków.

O ile do wyników skrajnych prowadzi jedna ścieżka (same spadki lub same wzrosty), to do pozostałych wyników prowadzą kombinacje ścieżek, np. do wyniku (e) prowadzi 126 różnych ścieżek. Ich liczbę obliczamy na podstawie wzoru na kombinację k-elementowych podzbiorów w zbiorze n-elementowym (l):

W ten sposób możemy dla każdego ze spodziewanych wyników określić prawdopodobieństwo jego zaistnienia jako iloczyn liczby ścieżek (kombinacji) oraz prawdopodobieństwa podniesionego do potęgi 9. (każdy kolejny krok musi być pomnożony przez odpowiednie prawdopodobieństwo).

Znając spodziewane wyniki (zyski lub straty) oraz ich prawdopodobieństwa, otrzymujemy rozkład zmiennej losowej. Z matematyki wiemy, że wartość oczekiwana takiego rozkładu to suma iloczynów oczekiwanego wyniku i odpowiadającego mu prawdopodobieństwa. Na koniec pozostaje jedynie spodziewany zysk zdyskontować na dzień dzisiejszy z uwzględnieniem kapitalizacji ciągłej i otrzymujemy cenę, za jaką powinniśmy wycenić opcję.

Algorytm ten można przedstawić w postaci następującego arkusza MS Excel:

W komórkach E5, E6, E9, E10, E12 wprowadzamy dane wejściowe dotyczące parametrów analizowanej akcji. W komórkach M5 i M6 wprowadzamy liczbę kroków analizy (w tym przypadku 9) oraz okres, po jakim opcja zostanie zrealizowana (w tym przypadku pół roku, tj. 0,5).

Komórki M12 i M13 zawierają prawdopodobieństwa wzrostu i spadku kursu akcji – w przypadku modelu JR zawsze będą równe 0,5.

Mnożniki wzrostów i spadków opisane są funkcjami MS Excel, zgodnie z opisanymi wcześniej wzorami:

W=M9=( =EXP(($E$10-$E$9-0,5*$E$12^2)*$M$7+E12*PIERWIASTEK($M$7)))
S=M10=( =EXP(($E$10-$E$9-0,5*$E$12^2)*$M$7-E12*PIERWIASTEK($M$7)))

Wykorzystujemy tutaj funkcję EXP (czyli e do potęgi n) oraz funkcję „pierwiastek”, zwracającą wartość pierwiastka kwadratowego.

Kalkulacja odbywa się w macierzy określonej zakresem komórek C30:L21, gdzie kolejne kolumny to kolejne kroki analizy (drzewa), natomiast wiersze to liczba wzrostów cen akcji. Start analizy odbywa w komórce C30, w której wpisujemy odwołanie do bieżącej ceny akcji na rynku (E5). Formuła zastosowana w arkuszu powinna tak obliczać wartość ceny, aby w wyniku przesunięcia w poziomie w prawo uwzględniać spadek ceny, natomiast w wyniku przesunięcia w górę po przekątnej uwzględniać wzrost ceny akcji.

Dla wybranych trzech przykładowych ścieżek - ścieżka A prowadzi przez same spadki, ścieżka B poprzez same wzrosty, natomiast ścieżka C prowadzi przez jeden wzrost (0,0) na (1,1), jeden spadek (1,1) na (1,2) oraz 7 kolejnych wzrostów. Aby opisać to jedną funkcją MS Excel, należy użyć poniższego zapisu:

W ten sposób definiujemy funkcją algorytm macierzy. Możemy tę samą funkcję wykorzystać dla macierzy o większej ilości kroków. Wtedy wynik będzie dokładniejszy. W naszym przykładzie zakładamy, że w okresie życia opcji tylko dziewięć razy sprawdzimy, czy jej cena wzrosła, czy spadła.

Ponieważ analizujemy opcję europejską, interesuje nas stan w kolumnie L po dziewięciu krokach, czyli w momencie realizacji opcji. Musimy określić, czy mamy do czynienia z zyskiem, czy nie. Straty nie wykazujemy – identyfikując taką ewentualność jako 0. Musimy pamiętać, że opcja daje prawo do jej skorzystania (tu chyba coś nie tak: ….daje prawo do nieskorzystania z niej?), a więc jeśli miałaby przynieść stratę, nabywca opcji z niej nie skorzysta.

W tym momencie wprowadzamy dodatkowy parametr – a mianowicie identyfikację, czy kalkulujemy opcję put, czy opcję call. Pole wyboru definiujemy w komórce E17, korzystając z analizy poprawności danych.

Z menu „dane” wybieramy ikonę „Poprawność Danych” i otrzymujemy okienko jak na powyższym rysunku. Z menu „dozwolone” wybieramy „lista” i w polu „źródło” wpisujemy kolejne dopuszczalne wartości, oddzielając je średnikiem. W ten sposób otrzymamy w komórce E17 rozwijalne pole, z którego będziemy mogli wybrać jedynie wartości call i put.

W zależności od tego, z jakim typem opcji mamy do czynienia, w odmienny sposób kwalifikujemy zysk. Dla opcji kupna (call) zysk będzie występował zawsze, jeśli cena akcji będzie wyższa od ceny wykonania opcji, w przypadku opcji sprzedaży (put) zawsze, kiedy cena akcji będzie niższa niż cena wykonania opcji. Aby uzależnić kalkulację zysku od parametru w komórce E17, w kolumnie M wykorzystujemy następującą formułę:

=JEŻELI($E$17="Call";MAX(L21-$E$6;0);MAX($E$6-L21;0))

Dzięki temu w kolumnie M otrzymamy serię oczekiwanych zysków w zależności od tego, czy rozpatrujemy opcję kupna, czy sprzedaży. Wspominaliśmy wcześniej, że wycena opcji jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej. Brakuje nam więc przypisania parametrów prawdopodobieństwa do każdego z wyników. W kolumnie N wykorzystujemy funkcję na kombinacje oraz iloczyn kolejnych dziewięciu prawdopodobieństw:

=$M$12^$M$5*KOMBINACJE($M$5;B21)

Na przykład dla wyniku w komórce L21, do którego prowadzi jedna ścieżka, wartość prawdopodobieństwa będzie najniższa - równa iloczynowi dziewięciu kolejnych prawdopodobieństw (p do potęgi 9.) oraz liczbie kombinacji równej 1.

W finale, aby obliczyć wycenę opcji, wystarczy wykorzystać funkcję „suma iloczynów” do kalkulacji wartości oczekiwanej zmiennej losowej (wartości oczekiwanego zysku) oraz zdyskontować tę wartość na dzień dzisiejszy z wykorzystaniem współczynnika dyskonta:

W ujęciu funkcji Excela – „Wycena Opcji” ma to postać:

=SUMA.ILOCZYNÓW(M21:M30;N21:N30)*EXP(-$E$10*$M$6)

Przedstawiony model wyceny opcji należy do najprostszych algorytmów. Poza tym funkcjonują bardziej złożone analitycznie konstrukcje drzew dwumianowych (np. CRR) oraz znana wszystkim formuła Blacka-Scholesa. Zaletą powyższego algorytmu jest przejrzystość analizy, co pomaga w uniknięciu błędu przy wycenie. Ciekawe jest również to, że w rezultacie wyniki wycen pomiędzy metodologią JR a metodą Blacka-Scholesa nie wykazują znacznych różnic. Należy też pamiętać, że każda z tych metod bazuje na założeniach statystycznych i jako taka jest jedynie próbą przybliżenia przyszłości i uwzględnienia normalnego ryzyka zmian.

Wybicia:
Rozważając zakup opcji, należy ocenić prawdopodobieństwo tego, czy po danym okresie wartość waloru (akcji) będzie na takim poziomie, który uzasadnia zakup opcji.

Jeśli mamy do czynienia tylko z dwiema możliwościami realizowanymi w ramach jednego kroku, to możemy opracować model drzewa dwumianowego, które zawiera zdefiniowany sukces i porażkę (wzrost, spadek ceny) oraz prawdopodobieństwo zaistnienia każdego zdarzenia w kroku.